Tervetuloa

Suomen suurimmalle kelloaiheiselle keskustelufoorumille

Liity mukaan!

Parin rattaan suunnittelua...

nouneim

Aktivisti
Liittynyt
1.6.2013
Viestit
536
Tykkäyksiä
0
#1
Tällä kertaa vähemmän käytännönläheinen projekti. Minulla ilmeni tarvetta parille hammasrattaalle välityksiä muuttamaan. Ja kun kerran itse meinaan rattaat toteuttaa, on hyvä vähän mietiskellä miten ne oikein toimiikaan. On minulla jo valmiiksi siitä hyvä mielikuva aiheeseen liittyvän kirjallisuuden pohjalta, mutta nyt täytyy katsoa vähän tarkemmin. Tämän teoreettisen osuuden kaavoinen voi tietysti hypätä yli, jos ei ole matemaatiikasta kiinnostunut.

Nykyisin lähes kaikki tavallisten rattaiden hampaiden profiilit ovat tyyppiä "involute", eli profiilin kaari noudattaa sopivasti asetettuja ympyrän kaaria. Ominaisuuksiltaan ne ovat mainioita, mutta kelloissa on vielä pysytty perinteisemmissä episykloidin mallisissa profiileissa. Teoriassa episykloidin profiilin hampaat laahaavat hieman vähemmän kuin involutet. Kelloissa, joiden rattaissa ei käytetä voitelua, tämä ominaisuus ehkäisee kulumista. Netistä tosin voi lukea artikkeleita, joiden mukaan erot hyötysuhteissa tai kulumisessa ei olisi mitenkään päätä huimaavia. Episykloidit vaativat suurta tarkkuutta valmistuksessa, jotta ratas toimii oikein. Väärä toiminta aiheuttaa pahempaa kulumista ja värinöitä nopeasti liikkuvien rattaiden tapauksessa. Siksi niistä onkin pääosin luovuttu melkein kaikissa muissa sovelluksissa paitsi kelloissa. Episykloidista minä kuitenkin aion lähteä liikkeelle.

Episykloidi on kaari, jonka generoi toisen ympyrän pintaa pitkin pyörivän ympyrän kehällä liikkuva piste. Eli alla olevan kuvan tapaan pienessä ympyrässä oleva kiinteä piste piirtää pyöriessää episykloidin kaaren. Kuva havainnollistaa samalla sen, että käyrä on samalla hampaan profiili (netistä lainattu).


Kellokirjoissa usein mainitaan, että käytännön syistä profiilin generoiva ympyrä on hyvä olla säteeltään puolet siitä rattaasta, jota hampaiden on tarkoitus todellisuudessa pyörittää. Silloin hampaan juuresta voi tehdä säteen suuntaisen suoran, ja työstö kiillotuksineen on helpompaa. Työstö yksinkertaaistuu silloin merkittävästi. Ajattelin laskea huvikseni tuon väitteen itse läpi, jotta näen sen silloin konkreettisemmin. Hampaiden profiilit ovat lopulta seuraavan kuvan kaltaiset (taas netistä otettu kuva):


Piirtelin itse kuvan, jonka merkintöjen mukaan profiilin ominaisuuksia on helppo laskea. Tavoitteena on todeta siis se, että hampaan kaari nojaa toisen raattaan hampaan suoraan osaan, ja kulmanopeus on silloin vakio, sallien useampien hampaiden saumattoman samanaikaisen toiminnan.

Katkoviivalla on hahmoteltu hampaan syrjää, jonka pienempi ympyrä on piirtänyt pyörähtäessään isomman ympyrän pintaa pitkin. Ympyröiden keskipisteet ovat pysyneet paikoillaan. Isompi ratas on pyörähtänyt kulman a verran, ja pienempi generoiva ympyrä kulman b verran.



Hampaan profiilia piirtävän pisteen p paikkakoordinaatit on helppo laskea kuvaa katsomalla:

x-koordinaatti:


y-koordinaatti:


Piste p paikkavektori kulman a funktiona on nyt


Jotta saadaan hampaan profiili mallinnettua ison ympyrän koordinaatistossa, pyöräytetään paikkavektoria siten että se alkaa ison ympyrän päältä. Pyöräytys onnistuu rotaatiomatriisilla R(-a), jolloin tilanne on tämän kuvan mukainen:



Paikkavektori p muuttuu rotaatiomatriisilla R(-a) tämän näköiseksi:



Mihin suuntaan osoittaa hampaan pinnan tangentti? Se saadaan laskemalla muutosvektori dp, jonka paikkavektori muuttuu kulman a kasvaessa infinitesimaalisen pienen määrän. Suoraan derivoimalla tulee vähän ikävän näköinen lauseke, mutta sopivilla trigonometrisilla kaavoilla tulos sievistyy melko pieneksi. Jätin tilaa vievät välivaiheet kirjoittamatta:


Tangentin kulmakerroin xy-koordinaatistossa on tietysti muutosvektorin y-komponentti jaettuna x-komponentilla:


Toisaalta kuvaan piirtämäni generoivaa ympyrää tuplasti isomman ympyrän keskipisteeseen piirretyn janan kallistuma alfa y-akselilta on kuvasta katsottuna a+c ja oletuksia käyttäen se saadaan muotoon:


Kulmakerroin kyseiselle janalle siis on:


Eli janan kulmakerroin on sama kuin hampaan profiilin tangentin! Näin on nähty, että generoivaa ympyrää tuplasti suurempaan ympyrään piirettyjen hampaiden juuret pitää jättää suoriksi ympyrän reunaan asti, jolloin rattaiden välinen kulmanopeussuhde (ja siis välityssuhde) pysyy vakiona hampaan kaaren nojatessa (edellä lasketun tangentin kohdalta) suoraa pintaa vasten. Se pyörii tasan puolta hitaammin kuin generoiva ympyrä, kun ympyröiden keskipisteet pysyvät samalla janalla (kuvan mukaisesti). Kaikki hampaat toimivat samoin, jolloin hampaat lomittuvat oikein.

Huomaa että jos itse generoivaan ympyrään piirrettäisiin suorajuuriset hampaat, isomman hampaiden kärjet työntäisivät rattaan edelle oikeasta nopeudestaa, ja seuraavat hampaat eivät tavoittaisi ratasta oikein.


Ei muuta kuin omia rattaita suunnittelemaan. Lähtökohtana on siis edellä todetut episykloidisen profiilin toimintaperiaatteet. Muilta osin otin hieman vapauksia. Suunnittelemani ratas toteuttaa välityssuhteen vakiona pysymisen, ja sitä myöten myös vakiona pysyvän momentin välittymisen.

Kirjoitin Octavella koodin, joka antaa hampaiden profiilin pisteparvena. Octave on ohjelmointiin perustuva matematiikkaohjelma, joka on pitkälle MATLAB-tyylinen. Syntaksi on todella vaivaton kirjoittaa matriiseja ja vektoreita käsitellessä. Koska halusin rattaasta vähän tavanomaisesta poikkeavan, koodia kertyi muutamia satoja rivejä. Miksi hammasrattaiden aina pitäisi olla pyöreitä? Pääosin lineaarialgebran ja numeerisen differentiaalien keinoin sain muokattua haluamani muodot. Pieni pätkä koodia:


Siirsin sitten pisteparven FreeCadiin. Sillä tein 3D-piirroksen:


3D-mallinnos oli lähinnä 3D-tulostetun mallikappaleen tilaamiseen. Se ei tullut varsinaiseen tarpeeseen, mutta oli mukava saada jotain konkreettista hypisteltäväksi. Huolimatta 3D-tulosteiden suurpiirteisistä toleransseista, rattaat näyttävän lomittuvan hyvin. Ei ehkä kovin vaikuttavan näköisiä valkoisesta muovista tehtynä.


Rattaiden suunnitelmaa aion käyttää myöhemmin eräässä projektissa, mutta sen aikataulu luultavasti venyy, kun harrastukseen ei ehdi riittävästi ottaa aikaa. Tarkoitus ei ole 3D-tulostaa näitä, vaan ajattelin ihan muita keinoja.
 

TomppaHe

Uusi jäsen
Liittynyt
1.4.2015
Viestit
16
Tykkäyksiä
0
#2
Vs: Parin rattaan suunnittelua...

Vaikuttavaa, taidat tykätä matikasta ????
Kerro toki projektin etenemisestä. Varmasti muutkin vaiheet on mielenkiintoisia. Esimerkiksi noiden rattaiden valmistaminen.
 

nouneim

Aktivisti
Liittynyt
1.6.2013
Viestit
536
Tykkäyksiä
0
#3
Vs: Parin rattaan suunnittelua...

Kyllä matematiikka menee ihan huvista, varsinkin jos se helpottaa jonkin asian täsmällisempää ymmärrystä. Laitan sitten joskus tulevaisuudessa raporttia projektista. Ehkä kesämmällä ehtisi viedä sitäkin eteenpäin.

En malttanut olla laskematta aiheesta kuitenkin vielä hieman lisää. Tässä tapauksessa vielä kiinnosti miten hampaiden laahaamisesta toisiaan vasten aiheutuvat häviöt eroavat eri puolilla rattaiden keskijanaa. Ihan vain siltä varalta ettei tullut vahingossa tingittyä tietämättään rattaiden teknisistä ominaisuuksista. Laitan tulokset tähän, koska ehkä jokus saattaa saada joitain hyödyllisiä mielikuvia omiin projekteihin tai muuten vain.

Laskemalla pitäisi olla helpohko muodostaa lausekkeet. Hammasrattaista löytyy käytännössä tutkittuakin tietoa, mutta kyseessä on yleensä voidellut nopeasti pyörivät rattaat suurehkoilla tehoilla, jolloin kitkan mallintaminen menee toisenlaiseksi. Voitelukalvon paksuus riippuu voimista, viskositeettihäviöt lämpötiloista ja nopeuksista jne. Profiilitkin ovat toisenlaisia, joten helposti löydettävän teorian ja kokeiden painopisteet eivät vastaa tätä tapausta. En löytänyt mitään kovin täsmällistä tietoa episykloidin hyötysuhteista, joten pitää miettiä itse. Tämä tarkastelu keskittyy vain laahaushäviöihin, suurella kitkakertoimella (voitelemattomat hampaat).

Kitkan tekemä työ on kitkavoima F_myy integroituna laahausmatkan s suhteen:
(1)

Kitkavoiman suuruus on pinnan normaalin suuntainen voima F_N kerrottuna kitkakertoimella myy.


Pinnan normaalin suuntainen voima puolestaan riippuu rattaiden pyörähtämämästä kulmasta a+c (edellisen viestin kuvan merkinnöin) ja kitkan aiheuttamasta tekijästä. F_M on momentin aiheuttama, isomman ajavan rattaan kehän suuntainen voima. Nimittäjässä oleva etumerkki vaihtuu sen mukaan kummalla puolella rattaiden akseleiden kautta piirrettyä keskijanaa hampaiden kosketuspinta on.


Momentin aiheuttama voiman F_M suuruus on ajavan momentin M suuruus jaettuna kosketuspisteen p etäisyydellä akselista. Pisteen p paikkavektorin lauseke näkyi edellisessä viestissä.


Pisteen p etäisyys akselista on laskettavissa edellisen viestin lausekkeesta, ottamalla itseisarvo. Tulos on:


Laahausmatka s koostuu kahdesta asiasta: kosketuspinnan siirtymisestä hampaan kaarella (dp), ja kosketuspinnan siirtymisestä pienemmän rattaan tasaisella pinnalla (dD). Pieni siirtymä ds on siis dp + dD, joka voidaan kirjoittaa muodossa:


Lausekkeessa esiintyvät derivaatat täytyy jälleen laskea. Edellisessä viestissä oli laskettu vektorin p derivaatta kulman a suhteen, ja tässä käytetään sen itseisarvoa:


Kosketuspinnan etäisyys D pienemmän rattaan keskipisteestä on laskettavissa kosinilausetta käyttäen, ja tulos on:


Suoralla laskulla sen derivaatta kulman suhteen on:


Edellä on avattu kaikki tarpeellinen työn lausekkeen (1) kasaamista varten. Auki kirjoitettuna lauseke on vähän ikävän näköinen, kuten voitte arvella, eikä maksa vaivaa yrittää laskea integraalia käsin. Numeerisesti integraalin laskeminen ei kuitenkaan ole vaivalloista, ja saadaan helposti piirrettyä kuvaaja laahaushäviöiden suhteellisesta osuudesta siirrettävään energiaan nähden, eli suure:


Kuvaajat kertovat, että häviöt kasvavat kulman kasvaessa akseleiden keskijanojen molemmin puolin. Ylempi kuvaaja on "ennen" keskijanaa ja alempi keskijanan "jälkeen".


Ero ei ole kovin dramaattinen, joka on hyvä vapaamman muotoilun kannalta. Usein kellon rattaissa episykloidikaari on vain suuremman, ajavan rattaan hampaissa. Pienemmässä on vain suorat sivut ja puoliympyrän mallinen pyöristys päässä, joka ei varsinaisesti edes osallistu toimintaan. Isomman rattaan hampaiden kaaret osuvat pienemmän hampaiden sivuihin vain keskijanan "jälkeen". Minun ratasparissa (ja useimmissa hammasrattaissa yleensä) pienemmän rattaan hampaissa on kaarta ja ne osallistuvat vedon välitykseen jo ennen keskijanaa.

Tästä samalla näkee että enemmän pienempiä hampaita on energiatehokkampaa kuin muutamia suurempia. Pienemmät hampaat laahavat pienemmän kulman ajan. Jos häviöt näyttävät suurilta, se johtuu pääosin käyttämästäni korkeasta kitkakertoimesta. Voidellut rattaat olisi asia erikseen.
 

Kellouutiset

Jäseniä paikalla

Viimeisimmät keskustelut

Foorumin tilastot

Keskustelut
7 288
Viestit
43 726
Jäsenet
4 401
Uusin jäsen
velikani
Kellofoorumin luotettavan palvelinalustan toimittaa XetNET – Webhotelli ja virtuaalipalvelimet
Ylös